der?der?der?

 定冠詞 der には「男性1格」「女性2格」「女性3格」それに「複数2格」と計4通りの場合があります。

m.
f.
n.
pl.
1格
der
die
das
die
2格
des
der
des
der
3格
dem
der
dem
den
4格
den
die
das
die

 見分けがつかない?
 文を読んでいて der にでくわした時、そこだけをじ〜っと眺めていてもわかりません。前後関係がヒントになります。例えば  「娘は医師に本を贈った」? 違います。
 もし@が主語、つまり1格なら die Tochter になるはずです(『娘』なんだから明らかに女性名詞)。ここは定冠詞が der だから、2格か3格でしょう。
 では2格?それもあり得ない。なぜなら2格はつねに「△△の〇〇」という形で使われるから。もし2格なら「娘の〇〇」の「〇〇」にあたるものが der Tochter のすぐ前になければおかしい。というわけで@は3格「娘に」です。
 次に動詞のうしろを見るとA der Arzt ですが、これが男性名詞であることは調べておぼえるしかありません。男性名詞で定冠詞が der になるのは1格しかあり得ませんから、これは主語です。
 「娘に医師が本を贈った」のです。
 そしてB der Katze は、すぐ前に ein Buch「本」という名詞があるから、「猫の本」の意味でしょう。つまりBは2格です。しかもそこから Katze が女性名詞であることもわかります。
 これに慣れると、多少語順が変わっても同じことです;